这里注意到，在公式（6）中，对L-函数的学习目标 S中的第二项，它是以真实样本x和生成样本的一个度量为各自L-函数的目标间隔，把x和分开。

　　这有一个很大的好处：如果生成的样本和真实样本已经很接近，我们就不必要求他们的L-函数非得有个固定间隔，因为，这个时候生成的样本已经非常好了，接近或者达到了真实样本水平。

　　这样呢，LS-GAN就可以集中力量提高那些距离真实样本还很远，真实度不那么高的样本上了。这样就可以更合理使用LS-GAN的建模能力。在后面我们一旦限定了建模能力后，也不用担心模型的生成能力有损失了。这个我们称为“按需分配”。

　　上图就是对LS-GAN这种对建模能力”按需“分配的图示。

　　有了上面的准备，我们先把LS-GAN要建模的样本分布限定在Lipschitz 密度上，即如下的一个假设：

　　那么什么是Lipschitz密度了？简而言之，Lipschitz密度就是要求真实的密度分布不能变化的太快。密度的变化随着样本的变化不能无限地大，要有个度。不过这个度可以非常非常地大，只要不是无限大就好。

　　好了，这个条件还是很弱地，大部分分布都是满足地。比如，你把一个图像调得稍微亮一些，它看上去仍然应该是真实的图像，在真实图像中的密度在Lipschitz假设下不应该会有突然地、剧烈地变化。不是吗？

　　然后，有了这个假设，我就能证明LS-GAN，当把L-函数限定在Lipschitz连续的函数类上，它得到地生成样本地分布和真实样本是完全一致！

　　前面我们说了，经典GAN事实上对它生成的样本密度没有做任何假设，结果就是必须给D-网络引入无限建模能力，正是这种能力，在完美分割真实和生成样本，导致了梯度消失，结果是引出了WGAN。

　　现在，我们把LS-GAN限定在Lipschitz密度上，同时限制住L-函数的建模能力到Lipschitz连续的函数类上，从而证明了LS-GAN得到的生成样本密度与真实密度的一致性。

　　那LS-GAN和WGAN又有什么关系呢？

　　细心的朋友可能早注意到了，WGAN在学习f-函数是，也限定了其f-函数必须是Lipschitz连续的。不过WGAN导出这个的原因呢，是因为EM距离不容易直接优化，而用它的共轭函数作为目标代替之。

　　也就是说，这个对f-函数的Lipschitz连续性的约束，完全是“技术”上的考虑，没有太多物理意义上的考量。

　　而且，WGAN的作者也没有在他们的论文中证明：WGAN得到的生成样本分布，是和真实数据的分布是一致的。不过，这点在我们更新的预印本中给出了明确的证明，如下：

　　换言之：我们证明了，WGAN在对f-函数做出Lipschitz连续的约束后，其实也是将生成样本的密度假设为了Lipschiz 密度。这点上，和LS-GAN是一致的！两者都是建立在Lipschitz密度基础上的生成对抗网络。

　　好了，让我们把LS-GAN和WGAN对L-函数和f-函数的学习目标放在一起仔细再看一看：

　　LS-GAN：

　　WGAN：