为了帮助理解后面的话题，我们先看看什么是电导率。想象一下你在一个管子（比如注射器）的一端施加压力，两端出现压强差，管内的液体会朝低压的方向流去，而流速流量不仅由压强差、管道长度、管道粗细决定，还会与液体的粘滞阻力有关，就像水和蜂蜜的区别。同样的，决定电流大小的，除了导线两端的电压差，材料的长短粗细，还有材料本身的导电性能（电导率）。比如金或者铜的电导率优于铝。我们平时说的电阻率，是电导率的倒数。一般情况下，电阻来源于电荷在移动过程中遭遇的阻碍（与其余微观粒子的频繁碰撞），类似于粘滞阻力和摩擦力。于是很大一部分电能就被消耗成了热能，所以你的手机会发热而且没用一天就要充电了。在三维导体和半导体中，电导率（电阻率）会随温度等状态发生变化，一般这样的变化是连续的，不是跃变的。

　　在特殊情况下，比如非常低温的条件下，物质可能发生特殊的相变，突然完全丧失电阻（或者粘滞系数），变成超导体（或者超流体），于是电流不再产生热量消耗电能，（或超流液体在环形容器中无休止地流动下去）。

　　然后，什么是拓扑相变？

　　现在，我们再来试图理解拓扑相变。

　　在低温下，微观粒子体现出量子力学的效应。而在薄层物质里，想象一下那些“运载”电流的电荷（或流体的分子），像蚂蚁一样被限制在桌面薄薄一层空间，只能做二维运动。那么他们中的一些有可能转着圈形成漩涡。

　　如果本节后面的文字读起来费劲，读完这一段你就可以跳到下一节。简短地说，今年的物理诺奖奖励了下列几个工作：(1) David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz用漩涡（拓扑概念）解释了薄层物质的一种特殊形式的超导超流相变。(2) David J. Thouless等人用陈数（陈省身数，Chern numbers）等拓扑不变量解释了实验观测到的按整数倍变化的霍尔电导率。(3) F. Duncan M. Haldane提供了一维磁性原子链的拓扑模型。(4) F.Duncan M. Haldane还首次预言了不需要磁场的整数量子霍尔效应（最后这一条是不是获奖工作还有些争议）。总的来说，他们的理论开创了把拓扑概念应用到凝聚态物理研究的领域，打开了通往丰富的拓扑物态世界的大门。

　　从前的理论认为超导或者超流不可能在薄层中发生。而上世纪七八十年代，David J. Thouless和J. Michael Kosterlitz 提出拓扑量子流体的理论，描述了在极低温下薄层物质中的漩涡会顺时针逆时针成对出现，互相补给电荷（或者补给流体），作为整体形成准长程有序的束缚态，伴随超导或超流现象。在温度升高后，直播，这些成对的漩涡突然远离，开始自由运动，破坏了超导或超流的长程位相有序性，导致物理性质突变。这个过程不同于普通的伴随对称性破缺（局部热扰动破坏的各方向对称性）的相变（比如结冰），而是由漩涡束缚态与自由态之间的转变导致的，要用到拓扑的不连续性来描述和解释，是拓扑相变的一种。已故前苏联科学家Berezinskii也独立地提出了这一相变机理，但由于东西方冷战而不为许多人知晓， 这一相变也被称为是BKT相变。

　　另外一个启发了科学家们去把拓扑性应用到物理里的一个重要现象，是在极低温强磁场下薄层物质的霍尔电导率成台阶式整数倍变化，而不能连续变化，即整数量子霍尔效应。（1980年德国科学家冯·克利青 Klaus von Klitzing 发现整数量子霍尔效应，于1985年获得诺贝尔物理学奖。）实验所测得的霍尔电导率非常精确地严格等于一个物理常数的整数倍。这个物理常数是大家熟悉的基本电荷（一个电子的电量）的平方除以量子力学里的极小量普朗克常数。（霍尔电导率不同于普通的电导率，但也同样是电流密度与电压梯度的比值。）